Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+2n+3，（n∈N^*）
（1）求通項a_n；
（2）求和

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）通過當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，驗證首項，即可求通項a_n；
（2）直接利用裂項法求解

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

的和即可．

解答： 解：（1）∵a₁=S₁=6，∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
當n=1時，a₁=3≠6，
∴an=

6(n=1) 2n+1(n≥2).

…（6分）
（2）當n=1時，原式=

1

30

當n≥2時，

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

•(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴原式=

1

30

+

1

2

•(

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

30

+

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

2

15

-

1

2(2n+3)

…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，裂項法求解數(shù)列的和，考查計算能力．