Question

已知函數(shù)f（x）=a•b^x的圖象過點A（0，1）和B（3，27）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=f（2），a_n+1=2a_n+f（n）（其中n∈N^*），求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）把點A（0，1）和B（3，27）代入函數(shù)解析式可求a，b進而可求函數(shù)f（x）的解析式
（2）由已知可得

an+1

3n+1

= 

2

3

•

an

3n

+

1

3

，令bn+1=

an+1

3n+1

，則可得bn+1-1=

2

3

(bn-1)，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求b_n，進而可求a_n

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）=a•b^x的圖象過點A（0，1）和B（3，27）
可得a•b⁰=1，a•b³=27
∴a=1，b=3∴f（x）=3^x
（2）由a₁=f（2）=9，a_n+1=2a_n+f（n）=2a_n+3ⁿ
∴

an+1

3n+1

= 

2

3

•

an

3n

+

1

3

令bn+1=

an+1

3n+1

，則b₁=3，bn+1=

2

3

bn+

1

3

∴bn+1-1=

2

3

(bn-1)，b₁-1=2
∴{b_n-1}是以2為首項以

2

3

為公比的等比數(shù)列
由等比數(shù)列的通項公式可得，bn-1=2•(

2

3

)n-1bn=1+(

2

3

)n-1×2=1+

2n

3n-1

∴a_n=3ⁿ+3×2ⁿ

點評：本題以指數(shù)函數(shù)的解析式的求解為切入點，主要考查了利用數(shù)列的遞推公式二次構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，解題的關(guān)鍵變形是

an+1

3n+1

= 

2

3

•

an

3n

+

1

3

；bn+1-1=

2

3

(bn-1)，b₁-1=2．