Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x－．
(1)當(dāng)a>0時(shí)，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；
(2)f(x)在[1，e]上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值；
(3)試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得在區(qū)間(1，＋∞)上函數(shù)y＝x²的圖象恒在函數(shù)y＝f(x)圖象的上方．

Answer 1

（1）f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)
（2）a＝－    （3）a≥－1

(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，
當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)>0恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．
(2)由f′(x)＝0得x＝－a，
①當(dāng)a≥－1時(shí)，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為增函數(shù)．
f(x)_min＝f(1)＝－a＝得a＝－(舍)．
②當(dāng)a≤－e時(shí)，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為減函數(shù)．
則f(x)_min＝f(e)＝1－＝得a＝－(舍)．
③當(dāng)－e<a<－1時(shí)，由f′(x)＝0得x₀＝－a．
當(dāng)1<x<x₀時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(1，x₀)上為減函數(shù)；
當(dāng)x₀<x<e時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(x₀，e)上為增函數(shù)．
∴f(x)_min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－．
綜上知：a＝－．
(3)由題意得：x²>ln x－在(1，＋∞)上恒成立，
即a>xln x－x³在(1，＋∞)上恒成立．
設(shè)g(x)＝xln x－x³(x>1)，則
g′(x)＝ln x－3x²＋1．
令h(x)＝ln x－3x²＋1，則
h′(x)＝－6x．
當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)<0恒成立．
∴h(x)＝g′(x)＝ln x－3x²＋1在(1，＋∞)上為減函數(shù)，
則g′(x)<g′(1)＝－2<0．
所以g(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，
∴g(x)<g(1)<－1，故a≥－1