Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+4）x+4．
（1）若對任意的x∈（0，1]，都有f（x）＞（a-1）x²恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）對任意的x∈（0，1]，都有f（x）＞（a-1）x²恒成立可轉(zhuǎn)化為a+4＜（x+$\frac{4}{x}$）_min，令g（x）=x+$\frac{4}{x}$，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性，可求得g（x）_min=g（1）=5，從而可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對f（x）=ax²-（a+4）x+4=（x-1）（ax-4）＞0，可分a＜0、a=0、0＜a＜4、a=4、a＞4五種情況討論，即可解得不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²-（a+4）x+4，
∴任意的x∈（0，1]，f（x）＞（a-1）x²恒成立?ax²-（a+4）x+4＞（a-1）x²（0＜x≤1）恒成立，
即（a+4）x＜4+x²恒成立，
∵x∈（0，1]，
∴a+4＜（x+$\frac{4}{x}$）_min，令g（x）=x+$\frac{4}{x}$，由對勾函數(shù)的單調(diào)性知，g（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=5，
∴a+4＜5，解得：a＜1．
即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1）；
（2）∵f（x）=ax²-（a+4）x+4=（x-1）（ax-4）＞0，
∴當(dāng)a=0時，解得：x＜1；
當(dāng)a＜0時，解得$\frac{4}{a}$＜x＜1；
當(dāng)0＜a＜4時，解得：x＞$\frac{4}{a}$或x＜1；
當(dāng)a=4時，解得：x≠1；
當(dāng)a＞4時，解得：解得：x＜$\frac{4}{a}$或x＞1；
綜上所述，當(dāng)a=0時，不等式f（x）＞0的解集為{x|x＜1}；
當(dāng)a＜0時，不等式的解集為{x|$\frac{4}{a}$＜x＜1}；
當(dāng)0＜a＜4時，不等式的解集為{x|x＞$\frac{4}{a}$或x＜1}；
當(dāng)a=4時，不等式的解集為{x|x≠1}；
當(dāng)a＞4時，不等式的解集為{x|x＜$\frac{4}{a}$或x＞1}．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查一元二次不等式的解法，突出考查等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想的綜合運用，考查運算求解能力，屬于難題．