Question

已知集合A={f（x）|f（x）=x，x∈[1，5]}與集合B={g(x)|g(x)=

x

2

+1，x∈[1，5]}，設(shè)函數(shù)y=max{f（x），g（x）}（即取f（x），g（x）中較大者）．
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（2）現(xiàn)從[1，5]中隨之取出一個(gè)數(shù)x，在y=max{f（x），g（x）}的映射下，求y∈[

5

3

，3]的概率；
（3）（理）對(duì)于函數(shù)y=max{f（x），g（x）}x∈[1，5]，定義Y=[y]是對(duì)實(shí)數(shù)y取整數(shù)，（如[2.3]=3，[3]=3），求Y的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：概率與函數(shù)的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）在同一直角坐標(biāo)下，作函數(shù)f（x）=x，g（x）=

x

2

+1，x∈[1，5]的圖象，據(jù)圖象易得函數(shù)y=

x 2 +1，x∈[1，2] x，x∈(2，5]

（2）運(yùn)用圖象結(jié)合概率的知識(shí)求出答案，（3）據(jù)圖象判斷相應(yīng)的概率計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解．

解答： 解；（1）在同一直角坐標(biāo)下，作函數(shù)f（x）=x，g（x）=

x

2

+1，x∈[1，5]的圖象，

易得函數(shù)y=

x 2 +1，x∈[1，2] x，x∈(2，5]

（2）∵當(dāng)y∈[

5

3

，3]時(shí)，x∈[

4

3

，3]，
∴y∈[

5

3

，3]的概率為P=

3- 4 3

5-1

=

5

12

，
（3）因?yàn)閥∈[

3

2

，5]時(shí)，所以Y可能取到的值為1，2，3，4，5，
P（Y=1）=

2-1

5-1

=

1

4

，
P（Y=2）=P（Y=3）=P（Y=4）=

1

4

，
P（Y=5）=0，
Y的數(shù)學(xué)期望（1+2+3+4）×

1

4

+5×0=

5

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與概率的求解，難度不大，屬于中檔題．