已知點P是橢圓數(shù)學(xué)公式上一動點,點F1,F(xiàn)2是橢圓的左右兩焦點.
(1)求該橢圓的長軸長、右準(zhǔn)線方程;
(2)一拋物線以橢圓的中心為頂點、橢圓的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線,求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)當(dāng)∠F1PF2=30°時,求△PF1F2的面積;
(4)點Q是圓F2:(x-5)2+y2=25上一動點,求PF1+PQ的最小值.

解:(1)∵橢圓
∴a=13,b=12,c=5,
∴長軸長26,右準(zhǔn)線方x=…(4分)
(2)∵p=,p==67.6
∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=-135.2x…(8分)
(3)PF1=r1,PF2=r2,由題意2c=10,100=r12+r22-2r1r2cos30°,r1+r2=26..(11分)
∴r2r1=576(2-
∴△PF1F2的面積=r2r1sin30°=144(2-)…(13分)
(4)由于PF1+PQ=26-PF2+PQ=26-(PF2-PQ)
故求PF1+PQ的最小值即求PF2-PQ值,
由圖可知,當(dāng)三點P,F(xiàn)2,Q共線時,PF2-PQ最大,最大值為圓F2:(x-5)2+y2=25的半徑5
故PF1+PQ的最小值為26-5=21…(16分)
分析:(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出a=13,b=12,c=5,從而得到長軸長26,右準(zhǔn)線方x=
(2)欲求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,只須求出其焦參數(shù)p即可,由p=,p==135.2,最后寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)先設(shè)出PF1=r1,PF2=r2,由題意2c=10,利用余弦定理得出r2r1=576(2-),根據(jù)面積公式即可求得△PF1F2的面積;
(4)由于PF1+PQ=26-PF2+PQ=26-(PF2-PQ),故求PF1+PQ的最小值即求PF2-PQ值,由圖可知,當(dāng)三點P,F(xiàn)2,Q共線時,PF2-PQ最大從而得到PF1+PQ的最小值.
點評:本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、直線和圓的方程的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知點P是橢圓
x2
169
+
y2
144
=1
上一動點,點F1,F(xiàn)2是橢圓的左右兩焦點.
(1)求該橢圓的長軸長、右準(zhǔn)線方程;
(2)一拋物線以橢圓的中心為頂點、橢圓的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線,求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)當(dāng)∠F1PF2=30°時,求△PF1F2的面積;
(4)點Q是圓F2:(x-5)2+y2=25上一動點,求PF1+PQ的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•靜安區(qū)一模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
的兩個焦點為F1(-c,0)、F2(c,0),c2是a2與b2的等差中項,其中a、b、c都是正數(shù),過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為
3
2

(1)求橢圓的方程;
(2)點P是橢圓上一動點,定點A1(0,2),求△F1PA1面積的最大值;
(3)已知定點E(-1,0),直線y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點.證明:對任意的t>0,都存在實數(shù)k,使得以線段CD為直徑的圓過E點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•重慶模擬)已知焦點在x軸上的橢圓的左右焦點分別為F1、F2,橢圓的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點,點P是橢圓上一動點且△F1F2P的面積最大值為2.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過橢圓的右焦點F2作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于A,B兩點,點M(m,0)是x軸上不同于原點的一個動點,求滿足條件(
MA
+
MB
)⊥
AB
的實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年重慶市主城八區(qū)高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知焦點在x軸上的橢圓的左右焦點分別為F1、F2,橢圓的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點,點P是橢圓上一動點且△F1F2P的面積最大值為2.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過橢圓的右焦點F2作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于A,B兩點,點M(m,0)是x軸上不同于原點的一個動點,求滿足條件的實數(shù)m的取值范圍.

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