設α為銳角，若cos(α+
π
6
)=
4
5
．
求：
（Ⅰ）cos(2α+
π
3
)的值；      
（Ⅱ）sin(2α+
π
12
)的值．
分析：（Ⅰ）由題意可得可得
π
6
＜α+
π
6
＜
2π
3
，由cos(α+
π
6
)=
4
5
，可得 sin(α+
π
6
)=
3
5
，再由二倍角公式求得sin(2α+
π
3
)的值．
（Ⅱ）由 sin(2α+
π
12
)=sin(2α+
π
3
-
π
4
)，再利用兩角差的正弦公式，運算求得結果．
解答：解：（Ⅰ）∵α為銳角，即 0＜α＜
π
2
，可得
π
6
＜α+
π
6
＜
π
2
+
π
6
=
2π
3
．
由cos(α+
π
6
)=
4
5
，可得 sin(α+
π
6
)=
3
5
，sin(2α+
π
3
)=2sin(α+
π
6
)cos(α+
π
6
)=2•
3
5
•
4
5
=
24
25
，∴cos(2α+
π
3
)=
7
25
．
（Ⅱ） sin(2α+
π
12
)=sin(2α+
π
3
-
π
4
)=sin(2α+
π
3
)cos
π
4
-cos(2α+
π
3
)sin
π
4
=
24
25
•
2
2
-
7
25
•
2
2
=
17
50
2
．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應用，同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式的應用，屬于中檔題．
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（2012•江蘇）設a為銳角，若cos（a+
π
6
）=
4
5
，則sin（2a+
π
12
）的值為
17
2
50
17
2
50
．

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