【題目】如圖,在直三棱柱中, 是線段上一點(diǎn).
點(diǎn).
(1)確定的位置,使得平面平面;
(2)若平面,設(shè)二面角的大小為,求證:
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)當(dāng)時(shí),可證明平面,再根據(jù)平面幾何知識(shí)求解即可;(2)以、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量及平面的一個(gè)法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),∵,∴由射影定理得,∴.
∵平面,∴.
∵,∴平面.
又平面,∴當(dāng)時(shí),平面平面.
(2)以、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則, , .
連接交于點(diǎn),則為的中點(diǎn).
∵平面平面,且平面,∴,∴為的中點(diǎn).
∴, ,
設(shè)平面的法向量為,
則,且,
令,可取平面的一個(gè)法向量,
而平面的一個(gè)法向量為,
∴,∵二面角為銳角,
∴,又,∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且.
(1)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,求的取值范圍.
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【題目】如圖,我海監(jiān)船在島海域例行維權(quán)巡航,某時(shí)刻航行至處,此時(shí)測(cè)得其東北方向與它相距32海里的處有一外國(guó)船只,且島位于海監(jiān)船正東海里處.
(1)求此時(shí)該外國(guó)船只與島的距離;
(2)觀測(cè)中發(fā)現(xiàn),此外國(guó)船只正以每小時(shí)8海里的速度沿正南方向航行,為了將該船攔截在離島24海里處,不讓其進(jìn)入島24海里內(nèi)的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值.(參考數(shù)據(jù): )
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【題目】以下莖葉圖記錄了甲,乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以表示.
(1)如果,求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差;
(2)如果,分別從甲,乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率.(注:方差,其中為, ,……, 的平均數(shù))
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)用反證法證明:在上,不存在不同的兩點(diǎn),,使得的圖象在這兩點(diǎn)處的切線相互平行.
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【題目】已知圓.
(1)若直線過定點(diǎn),且與圓相切,求的方程;
(2)若圓的半徑為,圓心在直線上,且與圓外切,求圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”.
為定義在上的“局部奇函數(shù)”;
曲線與軸交于不同的兩點(diǎn);
若為假命題, 為真命題,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次水下考古活動(dòng)中,某一潛水員需潛水米到水底進(jìn)行考古作業(yè).其用氧量包含一下三個(gè)方面:①下潛平均速度為米/分鐘,每分鐘用氧量為升;②水底作業(yè)時(shí)間范圍是最少分鐘最多分鐘,每分鐘用氧量為升;③返回水面時(shí),平均速度為米/分鐘,每分鐘用氧量為升.潛水員在此次考古活動(dòng)中的總用氧量為升.
(1)如果水底作業(yè)時(shí)間是分鐘,將表示為的函數(shù);
(2)若,水底作業(yè)時(shí)間為分鐘,求總用氧量的取值范圍;
(3)若潛水員攜帶氧氣升,請(qǐng)問潛水員最多在水下多少分鐘(結(jié)果取整數(shù))?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖已知是邊長(zhǎng)為的正方形的中心,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),沿對(duì)角線把正方形折成二面角.
(1)證明:四面體的外接球的體積為定值,并求出定值;
(2)若二面角為直二面角,求二面角的余弦值.
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