Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），其中0≤φ＜π，ω＞1．
（1）若φ=

π

2

，f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

π

4

，

π

3

]上單調(diào)遞增，求ω的值．
（2）若f（x）為奇函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M（

π

2

，0）對(duì)稱，且在區(qū)間[0，

π

8

]上是單調(diào)函數(shù)，求ω的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

π

4

，

π

3

]上單調(diào)遞增，即當(dāng)x=

π

4

時(shí)，f（x）取最小值-2，可得ω=8K-4，k∈Z，ω＞1．
（2）由f（x）為奇函數(shù)，先求φ=0，由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M（

π

2

，0）對(duì)稱，可得ω=2k，k∈Z
又在區(qū)間[0，

π

8

]上是單調(diào)函數(shù)，可得

2π

ω

≥

π

4

即可解得ω≤8，綜上可解．

解答： 解：（1）∵f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

π

4

，

π

3

]上單調(diào)遞增，
∴x=

π

4

時(shí)，f（x）=2sin（ωx+φ）=-2，
∴ω×

π

4

+

π

2

=2kπ-

π

2

，k∈Z
∴ω=8K-4，k∈Z，ω＞1
∴當(dāng)k=1時(shí)，有ω=4．
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），其中0≤φ＜π，∴φ=0
∵f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M（

π

2

，0）對(duì)稱，∴ω×

π

2

=kπ，ω＞1．
∴ω=2k，k∈Z
∵在區(qū)間[0，

π

8

]上是單調(diào)函數(shù)，
∴

2π

ω

≥

π

4

∴解得ω≤8
∴綜上有，ω的取值范圍為：1＜ω≤8且，ω=2k（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．