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11.已知函數f(x)=x-exa存在單調遞減區(qū)間,且y=f(x)的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切,符合情況的切線l(  )
A.有3條B.有2條C.有1條D.不存在

分析 求出f(x)的導數,由題意可得f′(x)<0在(-∞,+∞)有解,討論a<0,a>0可得a>0成立,求得切線l的方程,再假設l與曲線y=ex相切,設切點為(x0,y0),即有ex0=1-1a=(1-1a)x0-1,消去a得ex0x0-ex0-1=0,設h(x)=exx-ex-1,求出導數和單調區(qū)間,可得h(x)在(0,+∞)有唯一解,由a>0,即可判斷不存在.

解答 解:函數f(x)=x-exa的導數為f′(x)=1-1aexa,
依題意可知,f′(x)<0在(-∞,+∞)有解,
①a<0時,f′(x)<0 在(-∞,+∞)無解,不符合題意;
②a>0時,f′(x)>0即a>exa,lna>xa,x<alna符合題意,則a>0.
易知,曲線y=f(x)在x=0處的切線l的方程為y=(1-1a)x-1.
假設l與曲線y=ex相切,設切點為(x0,y0),
即有ex0=1-1a=(1-1a)x0-1,
消去a得ex0=ex0x01,設h(x)=exx-ex-1,
則h′(x)=exx,令h′(x)>0,則x>0,
所以h(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,
當x→-∞,h(x)→-1,x→+∞,h(x)→+∞,
所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,則ex01
而a>0時,11a1,與ex01矛盾,所以不存在.
故選:D.

點評 本題考查導數的運用:求切線的方程和單調區(qū)間,考查直線方程的運用和構造函數法,以及函數方程的轉化思想的運用,屬于中檔題.

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