Question

5．定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1（{x≤1}）\\|{x-3}|-1（{x＞1}）\end{array}$，則不等式f（x）＜-$\frac{1}{2}$的解集為$\left\{{x|x＜-1或\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}}\right\}$．

Answer 1

分析 當(dāng)x≤1時，由不等式可得$f（x）={2^x}-1＜-\frac{1}{2}$，由此求得x的范圍；當(dāng)x＞1時，由不等式可得|x-3|-1＜-$\frac{1}{2}$，由此求得x的范圍．再把以上兩個x的范圍取并集，即得所求．

解答 解：當(dāng)x≤1時，$f（x）={2^x}-1＜-\frac{1}{2}$，∴${2^x}＜\frac{1}{2}⇒x＜-1$；
當(dāng)x＞1時，$f（x）=|{x-3}|-1＜-\frac{1}{2}⇒\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}$，
∴不等式$f（x）＜-\frac{1}{2}$的解集為$\left\{{x|x＜-1或\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}}\right\}$，
故答案為：$\left\{{x|x＜-1或\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}}\right\}$．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，指數(shù)不等式、絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．