Question

已知函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=cos²x，以下判斷正確的序號(hào)是

 

（1）函數(shù)h（x）=f（x）-tanx在x∈（-

π

2

，0]上的零點(diǎn)只有1個(gè)．
（2）函數(shù)h（x）=f（x+1）-

π

2x+2

在x∈（1，2π）上的零點(diǎn)只有1個(gè)．
（3）函數(shù)h（x）=

1

2

f（x）+g（x）+a在x∈[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)時(shí)，a無(wú)解
（4）函數(shù)h（x）=

1

2

f（x）+g（x）+a在x∈[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，a∈（-1，-

1

2

）∪{-

17

16

}．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：運(yùn)用零點(diǎn)的定義，解方程，即可判斷（1）；運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷（2）；令h（x）=0，運(yùn)用同角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷（3）、（4）．

解答： 解：對(duì)于（1），由sinx=tanx，即有sinx=0或cosx=1，在x∈（-

π

2

，0]上只有x=0，則（1）對(duì)；
對(duì)于（2），h（x）=sin（x+1）-

π

2x+2

，h′（x）=cos（x+1）+

π

2(x+1)2

，由于1＜x＜2π，h′（x）=0有解，則h（x）不單調(diào)，則零點(diǎn)不唯一，則（2）錯(cuò)；
對(duì)于（3），h（x）=

1

2

sinx+cos²x+a，令h（x）=0，則sin²x-

1

2

sinx=1+a，即（sinx-

1

4

）²=a+

17

16

，
由于0≤x≤π，則sinx∈[0，1]，若h（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，則x=

π

2

，此時(shí)a=-

1

2

，則（3）錯(cuò)；
對(duì)于（4），由（sinx-

1

4

）²=a+

17

16

，由于0≤x≤π，則sinx∈[0，1]，sinx-

1

4

∈[-

1

4

，

3

4

]，
若h（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，即有0≤

a+ 17 16

＜

3

4

，且-

a+ 17 16

＜-

1

4

，解得，-1＜a＜-

1

2

或a=-

17

16

．則④對(duì)．
故答案為：（1）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷和求法，考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．