Question

已知橢圓的離心率為，點F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左，右焦點，以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線 x-y+=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點F₂的直線l與橢圓C相交于點M，N兩點，求使△F_l MN面積最大時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由離心率為，得，根據(jù)圓與直線相切可得，再由a²=b²+c²聯(lián)立可解得a，b；
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線l方程與橢圓方程消掉x得y的二次方程，則=，代入韋達定理即可得關于m的函數(shù)表達式，恰當變形后，利用函數(shù)單調性求得其最大值及相應m值；
解答：解：（I）由題意得，解得，
所以橢圓C的標準方程為；
（Ⅱ）由題意可設直線l的方程為x=my+1，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則點M、N的坐標是方程組的兩組解，
消掉x得，（3m²+4）y²+6my-9=0，所以，
所以=
====3（當且僅當m=0時取等號），
所以當m=0時，S_△ABC取最大值，此時直線l的方程為x=1．
點評：本題考查直線方程、橢圓方程及直線和橢圓、圓的位置關系，考查三角形面積公式，考查學生分析解決問題的能力．