(本小題滿分12分)
如圖, 是直角三角形,,交于點,平面,,.
(1)證明:;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
(1)見解析
(2)平面與平面所成的銳二面角的余弦值為
【解析】本試題主要是考查了立體幾何中線線垂直的證明,以及二面角的求解,綜合考查了同同學(xué)們的空間想象的能力和邏輯推理能力和計算能力的運用。靈活運用定理和性質(zhì)來解決問題的運用。
(1)對于線線垂直的判定,一般通過線面垂直的性質(zhì)定理得到。關(guān)鍵是判定BM垂直于平面ACEF
(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,運用坐標(biāo)表示平面的法向量,利用法向量與法向量的夾角來求解二面角的平面角的問題。
解:(法一)(1)平面平面,.……………1分
又,平面
而平面. ………………………………………3分
是直角三角形,,.
又,.
平面,,平面.
與都是等腰直角三角形..
,即(也可由勾股定理證得).………………………………5分
,平面.而平面,
. ………………………………………………………………………………6分
(2)延長交于,連,過作,連結(jié).
由(1)知平面,平面,.
而,平面.
平面,,
為平面與平面所成的二面角的平面角. ……………………8分
在中,,,
.
由,得.
.
又,
,則. ………………………………11分
是等腰直角三角形,.
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為 ………………………12分
(法二)(1)同法一,得. ………………………3分
如圖,以為坐標(biāo)原點,垂直于、、所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
由已知條件得,
. ………4分
由,
得, . ……………6分
(2)由(1)知.
設(shè)平面的法向量為,
由 得,
令得,, …………………………9分
由已知平面,所以取面的法向量為,
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為,
則, …………………………11分
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為. ……………………12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動經(jīng)濟(jì)增長,某市決定新建一批重點工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè).求:
(I)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,
(注:利潤與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.
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