【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 在 處的切線方程;
(Ⅱ)試判斷函數(shù) 零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】解:(Ⅰ)當(dāng) 時(shí), , ,
∵ , ,∴ 在 處的切線方程為 ,即 ;
(Ⅱ)由題知, 的定義域?yàn)? ,
.
①當(dāng) 時(shí),對(duì)于定義域中任意 ,有 , 在 上是增函數(shù).
又 ,并且當(dāng) 時(shí), ,∴ 有唯一的零點(diǎn);
②當(dāng) 時(shí),在 上 , 單調(diào)遞減;在 上, , 單調(diào)遞增.
又當(dāng) 時(shí), ,并且 .這是因?yàn)椋?/span> .
設(shè) ,則 .記 ,則 .
∵在 上, , 單調(diào)遞減;在 上, , 單調(diào)遞增,
∴ 的最小值為 ,即 成立,∴在區(qū)間 內(nèi)存在一點(diǎn) ,使得 .
則函數(shù) 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于 的最小值的正負(fù).又函數(shù) 的最小值為 .記 ,則 是 上的增函數(shù).又觀察,得 ,∴當(dāng) 時(shí), 的最小值小于0,即 有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng) 時(shí), 的最小值為0, 有唯一的零點(diǎn);當(dāng) 時(shí), 的最小值大于0, 沒(méi)有零點(diǎn).
綜上所述,當(dāng) 或 時(shí), 有唯一的零點(diǎn);當(dāng) 時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng) 時(shí), 沒(méi)有零點(diǎn)
【解析】(1)由題意把a(bǔ)的值代入函數(shù)的解析式,對(duì)其求導(dǎo)并把x=1的值代入導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)式,求出切線的方程的斜率再由點(diǎn)斜式求出直線的方程。(2)首先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)a分情況討論出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)性,從而得出原函數(shù)的零點(diǎn)存在情況即可。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)< ,則f(x)< 的解集為( )
A.{x|-1<x<1}
B.{x|x<-1}
C.{x|x<-1,或x>1}
D.{x|x>1}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某校高中男生中隨機(jī)選取100名學(xué)生,將他們的體重(單位: )數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖,如圖所示.
(1)估計(jì)該校的100名同學(xué)的平均體重(同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)若要從體重在 , , 三組內(nèi)的男生中,用分層抽樣的方法選取6人組成一個(gè)活動(dòng)隊(duì),再?gòu)倪@6人中選2人當(dāng)正副隊(duì)長(zhǎng),求這2人中至少有1人體重在 內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中, 平面 , , , , , , , 是 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在 中, , . 分別是邊 上的點(diǎn),且 .現(xiàn)將 沿直線 折起,形成四棱錐 ,則此四棱錐的體積的最大值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市某小學(xué)三年級(jí)有甲、乙兩個(gè)班,其中甲班有男生30人,女生20人,乙班有男生25人,女生25人,現(xiàn)在需要各班按男、女生分層抽取 的學(xué)生進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查,則兩個(gè)班共抽取男生人數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體 的棱長(zhǎng)為1, 分別是棱 的中點(diǎn),過(guò) 的平面與棱 分別交于點(diǎn) .設(shè) , .
①四邊形 一定是菱形;② 平面 ;③四邊形 的面積 在區(qū)間 上具有單調(diào)性;④四棱錐 的體積為定值.
以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“求方程 的解”有如下解題思路:設(shè) ,則 在 上單調(diào)遞減,且 ,所以原方程有唯一解 .類比上述解題思路,不等式 的解集是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,給出以下四個(gè)命題:
① ,有 ;
② 且 ,有 ;
③ ,有 ;
④ , .
其中所有真命題的序號(hào)是( )
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
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