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(本題滿分14分)

如圖,已知正三棱柱的底面邊長是,是側棱的中點,直線與側面所成的角為

     (Ⅰ)求此正三棱柱的側棱長;

(Ⅱ) 求二面角的大。

(Ⅲ)求點到平面的距離.

(本小題滿分14分)

解:(Ⅰ)設正三棱柱的側棱長為.取中點,連

是正三角形,

又底面側面,且交線為

側面

,則直線與側面所成的角為.   ……………2分

中,,解得.       …………3分

此正三棱柱的側棱長為.                         ……………………4分

 注:也可用向量法求側棱長.

(Ⅱ)解法1:過,連,

側面

為二面角的平面角.           ……………………………6分

中,,又

, 

中,.               …………………………8分

故二面角的大小為.               …………………………9分

解法2:(向量法,見后)

(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)可知,平面,平面平面,且交線為,,則平面.                      …………10分

中,.         …………12分

中點,到平面的距離為.       …………14分

解法2:(思路)取中點,連,由,易得平面平面,且交線為.過點,則的長為點到平面的距離.

解法3:(思路)等體積變換:由可求.

解法4:(向量法,見后)

題(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法:

(Ⅱ)解法2:如圖,建立空間直角坐標系

為平面的法向量.

                                       …………6分

又平面的一個法向量                          …………7分

.   …………8分

結合圖形可知,二面角的大小為.         …………9分

(Ⅲ)解法4:由(Ⅱ)解法2,…………10分

到平面的距離.14分

練習冊系列答案
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π
3
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