Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M、N分別是面對(duì)角線A₁B和B₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求三棱錐A₁-MND₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)B₁A，由已知得MN∥AD₁，AB⊥AD₁，由此能證明MN⊥AB．
（2）由VA1-MND1=VM-A1ND1，利用等積法能求出三棱錐A₁-MND₁的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)B₁A，則A，M，B₁三點(diǎn)共線，
∵M(jìn)，N是A₁B和B₁D₁的中點(diǎn)，
∴MN∥AD₁，
∵AB⊥平面ADD₁，∴AB⊥AD₁，
∴MN⊥AB．
（2）解：∵點(diǎn)M是A₁B的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M到平面A₁ND₁的距離為

1

2

，點(diǎn)N到A₁D₁的距離為

1

2

，
∴VA1-MND1=VM-A1ND1=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

×

1

2

=

1

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．