Question

已知函數(shù)f（x）-x+

t

x

（t＞0）和點P（1，0），過點P作曲線y=f（x）的兩條切線PM、PN，切點分別為M，N．
（Ⅰ）設(shè)|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M，N與A（0，1）三點共線．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出M、N兩點的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，對函數(shù)求導(dǎo)得到切線的斜率，寫出切線的方程，根據(jù)切線過一個點，得到一個方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出兩點之間的長度，得到函數(shù)的表示式．
（II）根據(jù)三點共線寫出其中兩點連線的斜率相等，整理出最簡單形式，把上一問做出的結(jié)果代入，求出t的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M、N兩點的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
∵f′（x）=1-

t

x2

，
∴切線PM的方程為：y-（x₁+

t

x1

）=（1-

t

x 2 1

）（x-x₁），
又∵切線PM過點P（1，0），∴有0-（x₁+

t

x1

）=（1-

t

x 2 1

）（1-x₁），
即x₁²+2tx₁-t=0，（1）
同理，由切線PN也過點P（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴

x1+x2=-2t x1•x2=-t

（*）
|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1 -x2- t x2 )2

=

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2 )2]

，
把（*）式代入，得|MN|=

20t2+20t

，
因此，函數(shù)g（t）的表達式為g（t）=

20t2+20t

（t＞0）．
（Ⅱ）當(dāng)點M、N與A共線時，k_MA=k_NA，
∴

x1+ t x1 -1

x1-0

=

x2+ t x2 -1

x2-0

，即

x 2 1 +t-x1

x 2 1

=

x 2 2 +t-x2

x 2 2

，
化簡，得（x₂-x₁）[t（x₂+x₁）-x₁x₂]=0
∵x₁≠x₂，∴t（x₂+x₁）=x₂x₁．（3）
把（*）式代入（3），解得t=

1

2

．
∴存在t，使得點M、N與A三點共線，且t=

1

2

．

點評：本題考查函數(shù)的綜合題目，主要應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)求最值來解題，本題解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，本題是一個綜合題目，綜合性比較強．