Question

已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|-1，討論函數(shù)奇偶性，請(qǐng)把f（x）表示成為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)a討論，a=0時(shí)，當(dāng)a≠0時(shí)，由奇偶性的定義，即可判斷；設(shè)f（x）=g（x）+h（x），其中g(shù)（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)．f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），運(yùn)用函數(shù)方程的思想，求得g（x），h（x），即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²+|x|-1，
f（-x）=（x）²+|-x|-1=x²+|x|-1=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)．
當(dāng)a≠0時(shí)，f（-x）=（-x）²+|-x-a|-1=x²+|x+a|-1≠f（x），
且f（-x）≠-f（x），則f（x）為非奇非偶函數(shù)．
綜上可得，a=0時(shí)，f（x）為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
設(shè)f（x）=g（x）+h（x），其中g(shù)（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)．
則f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
則g（x）=

1

2

（f（x）-f（-x））=

1

2

（x²+|x-a|-1-x²-|-x-a|+1）=

1

2

（|x-a|-|x+a|）
h（x）=

1

2

（f（x）+f（-x））=

1

2

（x²+|x-a|-1+x²+|-x-a|-1）=x²-1+

1

2

（|x-a|+|x+a|）．
則有f（x）=

1

2

（|x-a|-|x+a|）+[x²-1+

1

2

（|x-a|+|x+a|）]．
其中

1

2

（|x-a|-|x+a|）為奇函數(shù)，x²-1+

1

2

（|x-a|+|x+a|）為偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查分類討論的思想方法，考查定義法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．