Question

4．某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y（米）是時(shí)間t（0≤t≤24），單位：小時(shí)）的函數(shù)，記為y=f（x），下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：經(jīng)長(zhǎng)期觀察，y=f（t）的曲線可以近似地看出是函數(shù)y=Acos（ωt）+k（A＞0）的曲線．
（1）求函數(shù)y=Acos（ωt）+k（A＞0）的解析式；
（2）浴場(chǎng)規(guī)定：當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，當(dāng)天上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間可供沖浪愛好者沖浪的時(shí)間約為多少時(shí)？

t時(shí)	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y米	1.5	1.0	0.5	0.98	1.5	1.01	0.5	0.99	1.5

Answer 1

分析 （1）由已知條件，得：$\left\{\begin{array}{l}{A+k=1.5}\\{-A+k=0.5}\end{array}\right.$，由此求出A，k，T，從而求出ω，進(jìn)而求出函數(shù)y=Acos（ωt）+k（A＞0）的解析式．
（2）由題意得：y=$\frac{1}{2}cos（\frac{π}{6}t）+1＞1$，從而得到12k-3＜t＜12k+3，k∈Z，由此能求出當(dāng)天上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間可供沖浪愛好者沖浪的時(shí)間約為6小時(shí)．

解答 解：（1）由已知條件，得：$\left\{\begin{array}{l}{A+k=1.5}\\{-A+k=0.5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{A=\frac{1}{2}}\\{k=1}\end{array}\right.$，
由表知T=12，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{6}$，
∴y=$\frac{1}{2}cos（\frac{π}{6}t）+1$．
（2）由題意得：y=$\frac{1}{2}cos（\frac{π}{6}t）+1＞1$，
∴cos（$\frac{π}{6}t$）＞0，
2kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{6}t$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，
12k-3＜t＜12k+3，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，-3＜t＜3，
當(dāng)k=1時(shí)，9＜t＜15，
當(dāng)k=2時(shí)，21＜t＜27，
∵t在（8，20）之間，
∴9＜t＜15，共約6小時(shí)，
∴當(dāng)天上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間可供沖浪愛好者沖浪的時(shí)間約為6小時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦函數(shù)及圖象和性質(zhì)的合理運(yùn)用．