Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，平面．，，是上的點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析    （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）證明：連結(jié)．

因?yàn)榈酌?img width=48 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/16/220016.gif" >是正方形，

所以 ．

因?yàn)?img width=40 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/15/220015.gif" >平面，平面，

所以．……………………………………………………………………3分

又因?yàn)?img width=92 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/33/220033.gif" >，

所以平面．……………………5分

因?yàn)?img width=41 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/36/220036.gif" >平面，

所以．…………………………7分

（Ⅱ）因?yàn)?img width=40 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/15/220015.gif" >平面，

所以．

因?yàn)榈酌?img width=48 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/16/220016.gif" >是正方形，

所以．

又因?yàn)?img width=92 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/44/220044.gif" >，

所以平面，所以．…………………………………………10分

過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，連結(jié)．

由于，

所以平面．

所以．

故是二面角的平面角．………………………………………12分

在中，，，可求得．

在中，，，可求得．

所以．

即二面角的余弦值為．…………………………………………14分

解法（二）（Ⅰ）如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，，，，，

，

．…………………3分

．

所以．即．…………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．

設(shè)平面的法向量為，則由

，，得

  即

取，得．……………………………………………………………11分

易知平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)二面角的平面角為．

則．

即二面角的余弦值為．