三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象如圖所示,直線BD∥AC,且直線BD與函數(shù)圖象切于點B,交于點D,直線AC與函數(shù)圖象切于點C,交于點A.
(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且過點(1,-3),當x<0時求
f(x)+8xx2
的最大值;
(2)若函數(shù)在x=1處取得極值-2,試用c表示a和b,并求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)設(shè)點A、B、C、D的橫坐標分別為xA,xB,xC,xD求證    (xA-xB):(xB-xC):(xC-xD)=1:2:1.
分析:(1)直接由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且過點(1,-3),得到a=c=0,b=-4,代入
f(x)+8x
x2
并整理,再結(jié)合基本不等式即可求出其最大值;
(2)先求出其導函數(shù),根據(jù)函數(shù)在x=1處取得極值-2,得到
3+2a+b=0
a+b+c=-3
a=c
b=-2c-3
;在代入其導函數(shù),通過比較導數(shù)等于0的兩個根的大小求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)先設(shè)直線BD的方程為y=f′(xB)(x-xB)+f(xB),結(jié)合D點在直線上又在曲線上,得到xD+2xB+a=0;同理得到xA+2xC+a=0;進而求出(xA-xB)+(xC-xD)=(xB-xC),最后結(jié)合直線BD∥AC得到xB+xC=-
2a
3
,結(jié)合上面所找的結(jié)論即可證得(xA-xB):(xB-xC):(xC-xD)=1:2:1.
解答:解:(1)由已知得a=c=0,b=-4,
當x<0時
f(x)+8x
x2
=x+
4
x
≤-4
當且僅當x=-2時取得最大值-4(3分)
(2)f′(x)=3x2+2ax+b,依題意有
3+2a+b=0
a+b+c=-3
a=c
b=-2c-3
(5分)
從而f′(x)=3x2+2cx-(2c+3)=0=(3x+(2c+3))(x-1),
令f′(x)=0有x=1或x=-
2c+3
3

由于f(x)在x=1處取得極值,因此-
2c+3
3
≠1
,得到c≠-3
①若-
2c+3
3
>1
,即c<-3,
則當x∈(1,-
2c+3
3
)
時,f′(x)<0,因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,-
2c+3
3
)
;       (7分)
②若-
2c+3
3
<1
,即c>-3,
則當x∈(-
2c+3
3
,1)
時,f′(x)<0,因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-
2c+3
3
,1)
.(8分)
(3)證明:設(shè)直線BD的方程為y=f′(xB)(x-xB)+f(xB)因為D點在直線上又在曲線上,
所以f(xD)=f′(xB)(xD-xB)+f(xB
即(xD3+axD2+bxD+c)-(xB3+axB2+bxB+c)=(3xB2+2axB+b)(xD-xB
得到:xD2+xDxB-2xB2+axD-axB=0從而xD+2xB+a=0,①
同理有xA+2xC+a=0    ②,
由于AC平行于BD,因此f′(xB)=f′(xC),得到xB+xC=-
2a
3

進一步結(jié)合①②化簡可以得到xA+xD=xB+xC=-
2a
3
,從而xA-xB=xC-xD
又由①②得:(xA-xB)+(xC-xD)=(xB-xC),
因此(xA-xB):(xB-xC):(xC-xD)=1:2:1(14分)
點評:考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值,研究函數(shù)單調(diào)性的能力,函數(shù)與方程的靈活運用能力.
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