Question

(14分）己知函數(shù)f (x)=e^x，xR
(1)求 f (x)的反函數(shù)圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn)方程。
(2)證明：曲線(xiàn)y=f(x)與曲線(xiàn)y=有唯一公共點(diǎn)；
(3)設(shè)，比較與的大小，并說(shuō)明理由。

Answer 1

(1) ；(2) 詳見(jiàn)解析；(3) .

試題分析：(1)f (x)的反函數(shù). 直線(xiàn)y=kx+1恒過(guò)點(diǎn)P（0，1），該題即為過(guò)某點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的問(wèn)題，這類(lèi)題一定要先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求導(dǎo)便可得方程組，解方程組即可得k的值.
(2)曲線(xiàn)y=f(x)與曲線(xiàn) 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程 根的個(gè)數(shù). 而這個(gè)方程可化為
，令，結(jié)合的圖象即可知道取不同值時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù).
(3) 比較兩個(gè)式子的大小的一般方法是用比較法，即作差，變形，判斷符號(hào).
 
 
結(jié)合這個(gè)式子的特征可看出，我們可研究函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)，而用導(dǎo)數(shù)即可解決.
試題解析：(1)  f (x)的反函數(shù)為. ，，所以過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)為： .4分
(2) 令，則，當(dāng)時(shí) ，當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增.又，所以有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即曲線(xiàn)與有唯一一個(gè)公共點(diǎn).8分
(3) 設(shè) 
     9分
令，則，
的導(dǎo)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，因此，在上單調(diào)遞增，而，所以在上.   12分
當(dāng)時(shí)，且即，
 
所以當(dāng)時(shí)，            14分