Question

如圖，曲線Γ由曲線C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，y≤0)和曲線C2：

x2

a2

-

y2

b2

=1(y＞0)組成，其中點F₁，F(xiàn)₂為曲線C₁所在圓錐曲線的焦點，點F₃，F(xiàn)₄為曲線C₂所在圓錐曲線的焦點；
（1）若F₂（2，0），F(xiàn)₃（-6，0），求曲線Γ的方程；
（2）對于（1）中的曲線Γ，若過點F₄作直線l平行于曲線C₂的漸近線，交曲線C₁于點A、B，求三角形ABF₁的面積；
（3）如圖，若直線l（不一定過F₄）平行于曲線C₂的漸近線，交曲線C₁于點A、B，求證：弦AB的中點M必在曲線C₂的另一條漸近線上．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由F₂（2，0），F(xiàn)₃（-6，0），可得

a2+b2=36 a2-b2=4

，解得即可．
（2）由（1）知，曲線C₁：

x2

20

+

y2

16

=1，點F₄（6，0）．設(shè)直線l₁的方程為x=ny+6（n＞0）．與橢圓方程聯(lián)立（5+4n²）y²+48ny+64=0，
△＞0，化為n²＞1．設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|y₃-y₄|=

(y3+y4)2-4y3y4

，利用S△CDF1=

1

2

|F1F4|•|y3-y4|與基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（3）曲線C₂的漸近線為y=±

b

a

x，如圖，設(shè)直線l：y=

b

a

（x-m），與橢圓方程聯(lián)立化為2x²-2mx+（m²-a²）=0，△＞0，由數(shù)形結(jié)合知a≤m≤

2

a．設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），利用中點坐標(biāo)公式與根與系數(shù)的關(guān)系即可證明即點M在直線y=-

b

a

x上．

解答： （1）解：∵F₂（2，0），F(xiàn)₃（-6，0），
∴

a2+b2=36 a2-b2=4

，
解得

a2=20 b2=16

，
則曲線Γ的方程為

x2

20

+

y2

16

=1和

x2

20

-

y2

16

=1．
（2）解：由（1）知，曲線C₁：

x2

20

+

y2

16

=1，點F₄（6，0）．
設(shè)直線l₁的方程為x=ny+6（n＞0）．聯(lián)立

x2 20 + y2 16 =1 x=ny+6

，化為（5+4n²）y²+48ny+64=0，
△=（48n）²-4×64×（5+4n²）＞0，化為n²＞1．
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），∴y₃+y₄=

-48n

5+4n2

，y3y4=

64

5+4n2

．
∴|y₃-y₄|=

(y3+y4)2-4y3y4

=

16 5 n2-1

5+4n2

，
S△CDF1=

1

2

|F1F4|•|y3-y4|=

1

2

×8×

16 5 n2-1

5+4n2

=

64 5 n2-1

5+4n2

，
令t=

n2-1

＞0，∴n²=t²+1，
∴SCDF1=

64 5 t

9+4t2

=

64 5

9 t +4t

≤

16 5

3

，當(dāng)且僅當(dāng)t=

3

2

，即n=

13

2

時等號成立．
∴n=

13

2

時，S△CDF1=

16 5

3

取得最大值．
（3）證明：曲線C₂的漸近線為y=±

b

a

x，
如圖，設(shè)直線l：y=

b

a

（x-m），

y= b a (x-m) x2 a2 + y2 b2 =1

，化為2x²-2mx+（m²-a²）=0，
△=4m²-8（m²-a²）＞0，
解得-

2

a＜m＜

2

a．
又由數(shù)形結(jié)合知a≤m≤

2

a．
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則x₁+x₂=m，x₁x₂=

m2-a2

2

，
∴x₀=

x1+x2

2

=

m

2

，y0=

b

a

(x0-m)=-

b

a

×

m

2

．∴即點M在直線y=-

b

a

x上．

點評：本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．