在如圖所示的四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,ABDC,∠DAB=90°,PA=AD=DC=1,AB=2,M為PB的中點(diǎn).
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(2)求二面角A-PB-C的平面角的正切值.
(1)取AB的中點(diǎn)H,連接CH,則CH⊥AB
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,∵ABDC,∠DAB=90°,
∴AC=BC=
2

又AC2+BC2=2+2=AB2,∴AC⊥BC,
∴BC⊥平面PAC,∵BC?平面PBC,
∴平面PAC⊥平面PBC….(7分)
(2)取AB的中點(diǎn)H,連接CH,則由題意得
CH⊥AB,又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CH,
則CH⊥平面PAB.所以CH⊥PB,過(guò)H作HG⊥PB于G,連接CG,則PB⊥平面CGH,
所以CG⊥PB,則∠CGH為二面角A-PB-C的平面角…(10分)
∵PA=1,∴CH=1,AB=2,PB=
PA2+AB2
=
5

則GH=BHsin∠PBA=BH
PA
AB
=
1
5
,
∴tan∠CGH=
CH
GH
=
5
…(13分)
故二面角A-PB-C的平面角的正切值為
5
…(14分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)α、β為兩個(gè)不同的平面,直線l?α,則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD中為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn).
(1)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)點(diǎn)M在線段PC上,PM=tPC,試確定實(shí)數(shù)t的值,使得PA平面MQB.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起,得到三棱錐B-ACD,點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn),DM=2
2

(1)求證:OM平面ABD;
(2)求證:平面DOM⊥平面ABC;
(3)求三棱錐B-DOM的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱AB,BC上異于端點(diǎn)的點(diǎn),
(1)證明△B1MN不可能是直角三角形;
(2)如果M,N分別是棱AB,BC的中點(diǎn),
(。┣笞C:平面B1MN⊥平面BB1D1D;
(ⅱ)若在棱BB1上有一點(diǎn)P,使得B1D面PMN,求B1P與PB的比值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在圓錐PO中,已知PO=
2
,⊙O的直徑AB=2,C是
AB
的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面POD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角B-PA-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

點(diǎn)A(2,1,-1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為( 。
A.(-2,1,-1)B.(2,1,1)C.(2,-1,-1)D.(2,-1,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

點(diǎn)B是點(diǎn)A(1,2,3)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影,則OB等于(    )
A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案