Question

已知函數(shù)f（x），如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，則稱(chēng)f（x）為“S-函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=x，f₂（x）=3^x是否是“S-函數(shù)”；
（2）若f₃（x）=tanx是一個(gè)“S-函數(shù)”，求出所有滿(mǎn)足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）；
（3）若定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是“S-函數(shù)”，且存在滿(mǎn)足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（0，1）和（1，4），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇1，2]，求當(dāng)x∈[-2012，2012]時(shí)函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)是S-函數(shù)，列出方程恒成立，通過(guò)判斷方程的解的個(gè)數(shù)判斷出f₁（x）不是，對(duì)于f₂（x）對(duì)于列出方程恒成立．
（2）據(jù)題中的定義，列出方程恒成立，通過(guò)兩角和差的正切公式展開(kāi)整理，令含未知數(shù)的系數(shù)為0，求出a，b．
（3）利用題中的新定義，列出兩個(gè)等式恒成立；將x用2+x代替，兩等式結(jié)合得到函數(shù)值的遞推關(guān)系；用不完全歸納的方法求出值域．

解答：解：（1）若f₁（x）=x是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)（a，b），使得（a+x）（a-x）=b．
即x²=a²-b時(shí)，對(duì)x∈R恒成立．而x²=a²-b最多有兩個(gè)解，矛盾，
因此f₁（x）=x不是“S-函數(shù)”．（3分）
若f₂（x）=3^x是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)a，b使得3^a+x•3^a-x=3^2a，
即存在常數(shù)對(duì)（a，3^2a）滿(mǎn)足．
因此f₂（x）=3^x是“S-函數(shù)”（6分）
（2）f₃（x）=tanx是一個(gè)“S-函數(shù)”，設(shè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）滿(mǎn)足：
則tan（a-x）tan（a+x）=b恒成立．
當(dāng)a=kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)，tan（a-x）tan（a+x）=-cot²（x），不是常數(shù)．（7分）
因此a≠kπ+

π

2

， k∈Z，x≠mπ+

π

2

， m∈Z，
則有

tana-tanx

1+tana•tanx

×

tana+tanx

1-tana•tanx

=

tan2a-tan2x

1-tan2atan2x

=b．
即（b•tan²a-1）tan²x+（tan²a-b）=0恒成立．（9分）
即

b•tan2a-1=0 tan2a-b=0

?

tan2a=1 b=1

?

a=kπ± π 4 b=1

，k∈Z，
當(dāng)x=mπ+

π

2

，  m∈Z，a=kπ±

π

4

時(shí)，tan（a-x）tan（a+x）=cot²（a）=1．
因此滿(mǎn)足f₃（x）=tanx是一個(gè)“S-函數(shù)”的常數(shù)（a，b）=(kπ±

π

4

，1)， k∈Z．（12分）
（3）函數(shù)f（x）是“S-函數(shù)”，且存在滿(mǎn)足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（0，1）和（1，4），
于是f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，
即f（1+x）•f（1-x）=4?f（x）f（2-x）=4，x∈[1，2]時(shí)，2-x∈[0，1]，f(x)=

4

f(2-x)

∈[2， 4]，
∴x∈[0，2]時(shí)，f（x）∈[1，4]．（14分）

f(x)•f(-x)=1 f(1+x)•f(1-x)=4

?

f(-x)= 1 f(x) f(-x)= 4 f(2+x)

?f(2+x)=4f(x)．（16分）

x∈[2，4] 時(shí)，f(x)∈[4， 16]，x∈[4， 6] 時(shí)，f(x)∈[16， 26]， 依此類(lèi)推可知 x∈[2k， 2k+2] 時(shí)，f(x)∈[22k， 22k+2]， x∈[2010， 2012] 時(shí)，f(x)∈[22010， 22012].

因此x∈[0，2012]時(shí)，f（x）∈[1，2²⁰¹²]，（17分）x∈[-2012， 0] 時(shí)，f(x)=

1

f(-x)

，-x∈[0， 2012]，f(-x)∈[1， 22012]?f(x)∈[2-2012， 1]．
綜上可知當(dāng)x∈[-2012，2012]時(shí)函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2^-2012，2²⁰¹²]．（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題中的新定義、判斷函數(shù)是否具有特殊函數(shù)的條件、利用新定義得到恒等式、通過(guò)仿寫(xiě)的方法得到函數(shù)的遞推關(guān)系、考查利用歸納的方法得結(jié)論．