Question

已知雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

5

=1，若直線x-my-3=0截雙曲線的一支所得弦長(zhǎng)為5．
（I）求m的值；
（II）設(shè)過(guò)雙曲線C上的一點(diǎn)P的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于P₁，P₂，且點(diǎn)P分有向線段

P1P2

所成的比為λ（λ＞0）．當(dāng)λ∈[

3

4

，

3

2

]時(shí)，求|

OP1

||

OP2

|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由直線x-my-3=0可知：直線恒過(guò)定點(diǎn)焦點(diǎn)F₂（3，0）．于是直線與雙曲線的右支相交，設(shè)兩點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由雙曲線的第二定義可得：

|AF2|

|x1- a2 c |

=e=

3

2

，即|AF2|=

3

2

x1-2，同理|BF2|=

3

2

x2-2．于是|AB|=|AF₂|+|BF₂|=

3

2

(x1+x2-4)，由題意可得：

3

2

(x1+x2)-4=5，由直線過(guò)焦點(diǎn)F₂（3，0），可知x₁=x₂=3，此時(shí)直線垂直于x軸，即可得出m的值．
（II）利用線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)用P₁，P₂的坐標(biāo)表示，代入雙曲線的方程即可得出x₁x₂，進(jìn)而得出|

OP1

||

OP2

|的最值．

解答：解：（I）由雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

5

=1可得a=2，b=

5

，
∴c=3，e=

c

a

=

3

2

．
左右焦點(diǎn)分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）．
由直線x-my-3=0可知：直線恒過(guò)定點(diǎn)焦點(diǎn)F₂（3，0）．
于是直線與雙曲線的右支相交，設(shè)兩點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由雙曲線的第二定義可得：

|AF2|

|x1- a2 c |

=e=

3

2

，即|AF2|=

3

2

x1-2，同理|BF2|=

3

2

x2-2．
∴|AB|=|AF₂|+|BF₂|=

3

2

(x1+x2-4)，由題意可得：

3

2

(x1+x2)-4=5，∴|x₁+x₂|=6，
由直線過(guò)焦點(diǎn)F₂（3，0），可知x₁=x₂=3，
此時(shí)直線垂直于x軸，∴m=0．
（II）雙曲線C的漸近線方程分別為l₁：y=

5

2

x，l₂：y=-

5

2

x．
設(shè)P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
且點(diǎn)P分有向線段

P1P2

所成的比為λ（λ＞0）．
則y1=

5

2

x1，y2=-

5

2

x2，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

5

2

•

x1-λx2

1+λ

．
由點(diǎn)P（x，y）在雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1上，∴

(x1+λx2)2

4(1+λ)2

-

5

4

•

(x1-λx2)2

(1+λ)2

=1，
化簡(jiǎn)得x1x2=

(1+λ)2

λ

，又|

OP1

|=

x 2 1 + 5 4 x 2 1

=

3

2

|x1|，同理可得：|

OP2

|=

3

2

|x2|，
∴|

OP1

| |

OP2

|=

9

4

•

(1+λ)2

λ

(λ＞0)，
令u（x）=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2，
又u（λ）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，而λ∈[

3

4

，

3

2

]，
∴u（λ）_min=u（1）=4，u（λ）_max=u(

3

2

)=

25

6

．
于是：|

OP1

| |

OP2

|的最大值為

75

8

，最小值為9．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．