Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

(x-1)2+lnx-ax+a．
（Ⅰ）若a=

3

2

，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若對任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值點(diǎn)，從而求出極值；
（II）先求出f′(x)=x+

1

x

-(1+a)，當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，x+

1

x

∈(2，

10

3

)，然后討論1+a與區(qū)間（2，

10

3

）的位置關(guān)系，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，使對任意的x∈（1，3），都有f（x）_min＞0成立即可．

解答：解：（I）f′(x)=x+

1

x

-

5

2

=

2x2-5x+2

2x

，f'（x）=0，得x1=

1

2

，或x₂=2，
列表：

函數(shù)f（x）在x=

1

2

處取得極大值f(

1

2

)=

7

8

-ln2，
函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值f（2）=ln2-1；（4分）
（II）：f′(x)=x+

1

x

-(1+a)，x∈（1，3）時(shí)，x+

1

x

∈(2，

10

3

)，（5分）
（i）當(dāng)1+a≤2，即a≤1時(shí)，x∈（1，3）時(shí)，
f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，3）是增函數(shù)?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0恒成立；（7分）
（ii）當(dāng)1+a≥

10

3

，即a≥

7

3

時(shí)，x∈（1，3）時(shí)，
f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，3）是減函數(shù)?x∈（1，3），f（x）＜f（1）=0恒成立，不合題意（9分）
（iii）當(dāng)2＜1+a＜

10

3

，即1＜a＜

7

3

時(shí)，x∈（1，3）時(shí)，
f'（x）先取負(fù)，再取，最后取正，函數(shù)f（x）在（1，3）先遞減，再遞增，
而f（1）=0，∴?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0不能恒成立；（11分）
綜上，a的取值范圍是a≤1．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．