Question

直線y=kx+1與雙曲線3x²-y²=1的左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求k的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由直線y=kx+1與雙曲線3x²-y²=1，得（3-k²）x²-2kx-2=0，利用A，B在雙曲線的左右兩支上，根據(jù)韋達(dá)定理即可得不等式，解出即可；
（2）把存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根與系數(shù)關(guān)系求解實(shí)數(shù)k的值．

解答： 解：（1）由直線y=kx+1與雙曲線3x²-y²=1，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
因?yàn)锳．B在雙曲線的左右兩支上，所以3-k²≠0，

-2

3-k2

＜0，
解得-

3

＜k＜

3

；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴（k²+1）•

-2

3-k2

+k•

2k

3-k2

=0，
整理得k²=1，符合條件，
∴k=±1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問(wèn)題的最為常用的方法，訓(xùn)練了利用直線斜率的關(guān)系判斷兩直線的垂直關(guān)系，是中檔題．