Question

已知函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

，其中a＞0且a≠1．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由解析式求出函數(shù)的定義域，再化簡f（-x），判斷與f（x）的關系，再下結論；
（2）取值x₁＜x₂，再作差f（x₁）-f（x₂）并代入解析式化簡，對a分類后討論式子的符號，再得到“f（x₁）-f（x₂）”的符號，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結論．

解答：解：（1）由題意得f（x）的定義域為R，
且f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f(x)，-------------（2分）
∴f（x）是奇函數(shù)．------------------------------------------------（4分）
證明：（2）設x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

．--------------------（6分）
當a＞1時，ax1-ax2＜0，得f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
這時f（x）在R上是增函數(shù)；-------------------------------------------------------------（9分）
當0＜a＜1時，ax1-ax2＞0，得f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
這時f（x）在R上是減函數(shù)．-----------------------------------------（12分）

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷方法，都是利用了定義證明，證明單調(diào)性時注意變形要徹底，直到能容易的判斷出符號為止，考查了分類討論思想．