Question

在△ABC中，∠A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且滿足a²-2bccosA=（b+c）²
（1）求∠A的大小；
（2）若a=3，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，代入已知等式化簡得到關(guān)系式，代入表示出的cosA中求出值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，cosA的值代入，利用完全平方公式變形，再利用基本不等式求出b+c的最大值，即可確定出周長的范圍．

解答： 解：（1）由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

，即b²+c²-a²=2bccosA，
代入已知等式得：a²-b²-c²+a²=b²+2bc+c²，即b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
則∠A=120°；
（2）∵a=3，cosA=-

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即9=b²+c²+bc=（b+c）²-bc≥（b+c）²-

(b+c)2

4

=

3(b+c)2

4

，
再由b+c＞a=3得到：3＜b+c≤2

3

，
則△ABC周長a+b+c的范圍為6＜a+b+c≤2

3

+3．

點評：此題考查了余弦定理，基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．