Question

5．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且滿足3S_n-4a_n+2=0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{T{\;}_k}}}＜2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=1，a₁=2，當(dāng)n≥2，求得a_n=4a_n-1，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=2，公比為4的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出，
（Ⅱ）寫出{b_n}的通項(xiàng)公式，b_n=2n-1，及前n項(xiàng)和T_n=n²，采用裂項(xiàng)法，化簡(jiǎn)$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{{T}_{k}}$=$2-\frac{1}{n}$＜2．

解答 解：（Ⅰ）由3S_n-4a_n+2=0，令n=1，可得：a₁=2；  …（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，可得（3S_n-4a_n+2）-（3S_n-1-4a_n-1+2）=0⇒a_n=4a_n-1…（4分）
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=2，公比為4的等比數(shù)列，
故：${a_n}=2•{4^{n-1}}$=2^2n-1…（6分）
（Ⅱ）${b_n}={log_2}{2^{2n-1}}=2n-1$，
T_n=1+3+…+（2n-1）=n²…（8分）
$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{T{\;}_k}}}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{n^2}$≤$1+\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）×n}$…（11分）
=$1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$2-\frac{1}{n}$＜2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．