Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證：OD∥平面PAB；
（Ⅱ）當k=時，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？
（注：若△ABC的三點坐標分別為A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），C（x₃，y₃，z₃），則該三角形的重心坐標為：．）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）利用線面角公式=即可得出；
（Ⅲ）不妨設OB=2，則分別表示出點A、B、C的坐標，再利用AB=BC==kPA即可表示出點P的坐標，利用重心的定義即可得出△PBC的重心G的坐標，若滿足O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心，則OG⊥平面PBC，利用向量的數量積與垂直的關系即可得出k的值．
解答：（Ⅰ）證明：∵點O、D分別是AC、PC的中點，∴OD∥PA．
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）如圖所示距離空間直角坐標系．
當k=時，不妨設OB=2，則OA=OC=2，AB=2，∴AP=，
∴OP=．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，），
∴，，．
設平面PBC的法向量為，
則即
令z=1，則=y．∴．
設直線PA與平面PBC所成的角為θ，
則==．
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．
（Ⅲ）不妨設OB=2，則AO=OC=2，AB=BC==kPA，∴，可得=．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，
），，．
設G（x，y，z）為△PBC的重心，則G．
假設點O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心，則OG⊥平面PBC．
∴，即，又k＞0，解得k=1．
∴當k=1時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心．
點評：熟練掌握三角形的中位線定理和線面平行的判定定理、線面角公式=、通過建立空間直角坐標系及重心的定義即可得出△PBC的重心G的坐標、線面垂直的性質定理、向量的數量積與垂直的關系是解題的關鍵．