Question

已知函數(shù)（k，m為常數(shù)）．
（1） 當(dāng)k和m為何值時(shí)，f（x）為經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的偶函數(shù)？
（2）若不論k取什么實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）
∴
由此得6kx=0總成立，故k=0．
∴，又該函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1，0），
∴，得m=
所以，當(dāng)m=，k=0時(shí)，f（x）為經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的偶函數(shù)．
（2）由函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)知，
方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根
，故△=＞0恒成立，
即恒成立，
而-9k²+12k=，
故只須，即，解得0＜m＜．
所以，當(dāng)0＜m＜時(shí)，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判斷出f（-x）=f（x）把函數(shù)解析式代入求得6kx=0總成立，求得k，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)過(guò)（1，0）點(diǎn)代入后即可求得m．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)知可判斷出方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根進(jìn)而根據(jù)△＞0恒成立，進(jìn)而求得m的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．如果函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根；如果有一個(gè)零點(diǎn)，則方程有且只有一個(gè)實(shí)根；函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．