Question

試證：一個(gè)命題與它的逆否命題是等價(jià)的.

 

Answer 1

答案：
解析：

這個(gè)題要分以下四種情況來(lái)證明. ①已知：命題“若有A，則有B”為真. 求證：它的逆否命題“若無(wú)B，則無(wú)A”也真. 證明：假設(shè)“若無(wú)B，則無(wú)A”是假的，那么，‘若無(wú)B，則有A’就是真的，又已知‘若有A，則有B’，∴得‘若無(wú)B，則有A，若有A，則又有B’，即若無(wú)B，則又有B.這是一個(gè)同時(shí)無(wú)B又有B的自相矛盾的結(jié)果，∴命題“若無(wú)B，則無(wú)A”也真的. ②同理可證：如果“若無(wú)B，則無(wú)A”為真，那么“若有A，則有B”也真. ③已知：命題“若有A，則有B”為假. 求證：它的逆否命題“若無(wú)B，則無(wú)A”也假. 證明：假設(shè)“若無(wú)B，則無(wú)A”是真的，那么，由②知‘若有A，則有B’也是真的，這個(gè)結(jié)果與已知條件“若有A，則有B”為假相矛盾，∴命題“若無(wú)B，則無(wú)A”是假的. ④同理可證：如果“若無(wú)B，則無(wú)A”為假，那么“若有A，則有B”也假. 綜上所述，此題證畢.

提示：

所謂一個(gè)命題與它的逆否命題是等價(jià)的，是說(shuō)這兩個(gè)命題同真、同假.即有一個(gè)為真，二者都真；有一個(gè)為假，二者都假.