Question

某縣地處水鄉(xiāng)，縣政府計劃從今年起用處理過的生活垃圾和工業(yè)廢渣填河造地．
（1）若該縣以每年1%的速度減少年填河面積，并保持生態(tài)平衡，使填河總面積永遠(yuǎn)不會超過現(xiàn)有水面面積的

1

4

，問：今年所填面積最多只能占現(xiàn)有水面面積的百分之幾？
（2）水面的減少必然導(dǎo)致蓄水能力的降低，為了保持其防洪能力不會下降，就要增加排水設(shè)備，設(shè)其經(jīng)費(fèi)y（元）與當(dāng)年所填土地面積x（畝）的平方成正比，比例系數(shù)為a，又設(shè)每畝水面平均經(jīng)濟(jì)收入為b元，所填的每畝土地年平均收入為c元，那么，要使這三項的收入不少于支出，試求所填面積x之最大值（其中a，b，c為常數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)該縣現(xiàn)有水面面積為M（畝），今年所填面積x（畝），則由已知條件得：x+x(1-1%)+x(1-1%)2+≤

1

4

M．由此可知今年所填面積最多只能占現(xiàn)有水面面積的0.25%．
（2）由題設(shè)條件可知x(x-

c-b

a

)≤0，然后再根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行分類討論．

解答：解：（1）設(shè)該縣現(xiàn)有水面面積為M（畝），今年所填面積x（畝），
則由已知條件得：x+x(1-1%)+x(1-1%)2+≤

1

4

M．
上式左端是無窮等比數(shù)列各項和，即有：x

lim

n→∞

1-(1-1%)n

1-(1-1%)

≤

1

4

M
∴

x

1 100

≤

1

4

M，故x≤

1

400

M
這說明今年所填面積最多只能占現(xiàn)有水面面積的0.25%．
（2）由題設(shè)條件可知：cx-（ax²+bx）≥0
即x(x-

c-b

a

)≤0
當(dāng)c-b≤0時，

c-b

a

≤x≤0，x為非正值，說明不能填地；
當(dāng)c-b＞0時，0≤x≤

c-b

a

，x為非負(fù)值，說明所填土地面積的最大值為

c-b

a

畝．

點(diǎn)評：解答本題關(guān)鍵在于深刻理解題意，將填河造地的面積抽象為一個等比數(shù)列，由“填河總面積永遠(yuǎn)…”就須求出這個無窮等比數(shù)列各項的和．