Question

已知f（x）=2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）+2

3

cos²（x-

π

4

）
（Ⅰ）求f（x）的最大值及取到最大值時(shí)相應(yīng)的x的集合；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）=-m在區(qū)間[0，

π

2

]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值及此時(shí)x的范圍．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍，畫出f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合方法求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）+2

3

cos²（x-

π

4

）
=sin（2x-

π

2

）+

3

cos（2x-

π

2

）+

3

=2sin（2x-

π

6

）+

3

∴函數(shù)的最大值為2+

3

，
當(dāng)2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

3

（k∈Z）時(shí)取最大值，
∴取到最大值時(shí)相應(yīng)的x的集合為{x|x=kπ+

π

3

，（k∈Z）}
（Ⅱ）依（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x-

π

6

）+

3

當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
要使函數(shù)y=f（x）=-m有兩個(gè)零點(diǎn)即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，依草圖可知f（

π

2

）≤-m＜f（x）_max
即-1-

3

≥m＞-2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．注意對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用．