Question

直線l過點(diǎn)M（1，1），與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M，試求：
（1）直線l的方程．
（2）求弦長AB．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于A，B兩點(diǎn)是直線與橢圓的交點(diǎn)，故他們應(yīng)滿足橢圓方程，設(shè)出它們的坐標(biāo)，然后根據(jù)它們的中點(diǎn)為M，可將坐標(biāo)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求直線l的斜率，然后再由點(diǎn)斜式求出直線方程；
（2）3x+4y-7=0與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式，可求弦長AB．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則

x12

4

+

y12

3

=1，①

x22

4

+

y22

3

=1②
①-②，得

(x1-x2)(x1+x2)

4

+

(y1-y2)(y1+y2)

3

=0．
又∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∴直線l的斜率為-

3

4

．
∴直線l的方程為y-1=-

3

4

（x-1），即3x+4y-7=0．
（2）3x+4y-7=0與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立可得21x²-42x+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，x₁x₂=

1

21

，
∴|AB|=

1+ 9 16

•

4- 4 21

=

5

21

105

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的綜合，考查弦中點(diǎn)問題，正確運(yùn)用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．