Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d（x∈R），f′（0）=6設(shè)F（x）=f（x）-f′（x）若F（0）=0，F(xiàn)（1）=-11．
（1）求b、c、d的值．
（2）求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³+bx²+cx+d，∴f'（x）=3x²+2bx+c．
由f′（0）=6得c=6，
從而F（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx+d-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x+d-c．
由于F（0）=0，F(xiàn)（1）=-11，
所以d-c=0，且（b-3）+（c-2b）+d-c=-11，
得b=14，c=6，d=6；
（2）由（1）知F（x）=x³+11x²-22x，從而F'（x）=3x²+22x-22，
當(dāng)F'（x）＞0時(shí)，x＜或x＞，
當(dāng)F'（x）＜0時(shí)，＜x＜，
由此可知，（-∞，）和（，+∞）是函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（，）是函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
F（x）在x=時(shí)取得極大值，極大值為369，F(xiàn)（x）在x=時(shí)取得極小值，極小值為-10．
分析：（1）根據(jù)F（x）=f（x）-f'（x）且F（0）=0，F(xiàn)（1）=-11，列方程組能夠求出b、c與d的值．
（2）對(duì)F（x）進(jìn)行求導(dǎo)，F(xiàn)'（x）＞0時(shí)的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，F(xiàn)'（x）＜0時(shí)的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間．F'（x）=0時(shí)的x，使得函數(shù)F（x）取到極值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解．導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)可求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)可求原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，取到極值時(shí)導(dǎo)數(shù)為0．