Question

12．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，且線段PQ的長與函數(shù)f（x）的周期相等，則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 由函數(shù)圖象可得A，又由題意，可求T，利用周期公式可求ω，由f（$\frac{2}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}×$$\frac{2}{3}$+φ）=$\sqrt{3}$，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ的值，即可得解函數(shù)解析式．

解答 解：由函數(shù)圖象可得，A=$\sqrt{3}$，
因為：線段PQ的長與函數(shù)f（x）的周期相等，
所以：PQ=$\frac{2\sqrt{3}}{cos30°}$=4，
所以可得：T=$\frac{2π}{ω}$=4，解得：ω=$\frac{π}{2}$，
由于：點（$\frac{2}{3}$，$\sqrt{3}$）在函數(shù)圖象上，
可得：f（$\frac{2}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}×$$\frac{2}{3}$+φ）=$\sqrt{3}$，即：sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
解得：$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又因為：|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以，解得：φ=$\frac{π}{6}$．
故答案為：f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．