已知、為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過的直線與橢圓交于、兩點，過與平行的直線與橢圓交于、兩點，求四邊形的面積的最大值.
（1）；（2）.

試題分析：（1）設橢圓的標準方程為，先利用橢圓定義得到的值并求出的值，然后將點的坐標代入橢圓方程求出的值，最終求出橢圓的方程；（2）根據(jù)平行四邊形的幾何性質(zhì)得到，即先求出的面積的最大值，先設直線的方程為，且、，將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理將的面積表示成只含的表達式，并利用換元法將代數(shù)式進行化簡，最后利用基本不等式并結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性來求出面積的最大值，從而確定平行四邊形面積的最大值.
（1）設橢圓的標準方程為，
由已知得，，
又點在橢圓上， ，
橢圓的標準方程為；
（2）由題意可知，四邊形為平行四邊形 ，
設直線的方程為，且、，
由得，
，，
，
，
令，則，，
又在上單調(diào)遞增，
，的最大值為，
所以的最大值為.
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知平面內(nèi)一動點到兩個定點、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點作直線與軌跡交于、兩點，且點在線段的上方，
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點、關(guān)于直線對稱，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設,分別是橢圓：的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點, 到直線的距離為,連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點，設是橢圓上的一點，過、兩點的直線交軸于點,若, 求的取值范圍；
（3）作直線與橢圓交于不同的兩點,,其中點的坐標為,若點是線段垂直平分線上一點,且滿足,求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.
（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；
（ii）當最小時，求點T的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖為橢圓C：的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率，的面積為.若點在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢圓”，直線與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢圓”分別為P，Q.

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）問是否存在過左焦點的直線，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，過拋物線y2＝2px (p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線方程為(　　)

A．y2＝9x           B．y2＝6x
C．y2＝3x           D．y2＝x

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

拋物線y=﹣x2上的點到直線4x+3y﹣8=0距離的最小值是（　�。�
A．B．C．D．3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則正數(shù)等于(    )
A．B．C．D．

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