Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為1？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．極小值，無極大值．（2）存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為．

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間和極值（2）先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變化分類討論：當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)恒為正，所以最小值為；當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正，所以最小值為；當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，最小值為，最后根據(jù)最小值為1，解對應(yīng)的值。

試題解析：解：由題意知函數(shù)的定義域為，．

（Ⅰ）當(dāng)時，，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．

所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值，無極大值．

（Ⅱ）①當(dāng)時，函數(shù)在為增函數(shù)，

∴函數(shù)在上的最小值為，顯然，故不滿足條件；

②當(dāng)時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

故函數(shù)在上的最小值為的極小值，

即，滿足條件；

③當(dāng)時，函數(shù)在為減函數(shù)，

故函數(shù)在上的最小值為，即，不滿足條件．

綜上所述，存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為．