如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.

(1)求證:AM∥平面BDE;

(2)求二面角A-DF-B的大小;

(3)試在線段AC上確定一點P,使得PF與BC所成的角是60°.

(1)證明:記AC與BD的交點為O,連結(jié)OE,?

∵O、M分別是AC、EF的中點,ACEF是矩形,?

∴四邊形AOEM是平行四邊形.?

∴AM∥OE.?

∵OE平面BDE,AM平面BDE,?

∴AM∥平面BDE.?

(2)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S,連結(jié)BS,?

∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A,?

∴AB⊥平面ADF.?

∴AS是BS在平面ADF上的射影.?

由三垂線定理得BS⊥DF.?

∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角.?

在Rt△ASB中，AS=，AB=，?

∴tan∠ASB=,∠ASB=60°.?

∴二面角A-DF-B的大小為60°.?

 (3)設(shè)CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,則PQ∥AD,?

∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,AB∩AF=A,?

∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF.?

∴PQ⊥QF.?

在Rt△PQF中,∠FPQ=60°,PF=2PQ.?

∵△PAQ為等腰直角三角形,?

∴PQ=(2-t).?

又∵△PAF為直角三角形,?

∴PF=.?

∴ =2·(2-t).?

求出t=1或t=3(舍).?

∴t=1.∴CP=1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點．
（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，過正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于M，N，則當(dāng)
MN
BN
最小時，CN=
5
-1
2
5
-1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=
2
，CE=2
2
，CE∥AF，AC⊥CE，
ME
=2
FM

（I）求證：CM∥平面BDF；
（II）求異面直線CM與FD所成角的余弦值的大��；
（III）求二面角A-DF-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1．
（1）求二面角A-DF-B的大小；
（2）在線段AC上找一點P，使PF與AD所成的角為60°，試確定點P的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳二模）如圖，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形A′B′C′D′，其中A與A'重合，且BB′＜DD′＜CC′．
（1）證明AD′∥平面BB′C′C，并指出四邊形AB′C′D′的形狀；
（2）如果四邊形中AB′C′D′中，AD′=
2
，AB′=
5
，正方形的邊長為
6
，求平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值．

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