Question

（2008•溫州模擬）如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求證：PB∥平面EFG；
（2）求異面直線EG與BD所成的角；
（3）在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離為

4

5

．若存在，求出CQ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB中點H，連接GH，HE，易知E，F(xiàn)，G，H四點共面，根據(jù)中位線定理可知EH∥PB，又EH?面EFG，PB?平面EFG，滿足線面平行的判定定理所需條件；
（2）取BC的中點M，連接GM、AM、EM，則GM∥BD，∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD所成的角，在Rt△MGE中，利用余弦定理求出此角即可；
（3）假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件，過點Q作QR⊥AB于R，連接RE，過A作AT⊥ER于T，可知AT就是點A到平面EFQ的距離，設CQ=x（0≤x≤2），在Rt△EAR中利用等面積法可求出x，從而求出所求．

解答：解：（1）證明：取AB中點H，連接GH，HE，
∵E，F(xiàn)，G分別是線段PA、PD、CD的中點，
∴GH∥AD∥EF，
∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．…（1分）
又H為AB中點，
∴EH∥PB．…（2分）
又EH?面EFG，PB?平面EFG，
∴PB∥面EFG．…（3分）
（2）解：取BC的中點M，連接GM、AM、EM，則GM∥BD，
∴∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD所成的角．…（4分）
在Rt△MAE中，EM=

EA2+AM2

=

6

，
同理EG=

6

，又GM=

1

2

BD=

2

，
∴在Rt△MGE中，cos∠EGM=

EG2+GM2-ME2

2EG•GM

=

3

6

…（7分）
故異面直線EG與BD所成的角為arccos

3

6

．…（8分）
（3）假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件．
過點Q作QR⊥AB于R，連接RE，則QR∥AD．
∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，
∴AD⊥平面PAB．
又∵E，F(xiàn)分別是PA，PD中點，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB
又EF?面EFQ，
∴面EFQ⊥平面PAB．
過A作AT⊥ER于T，則AT⊥面EFQ，
∴AT就是點A到平面EFQ的距離．…（12分）
設CQ=x（0≤x≤2），則BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，
在Rt△EAR中，AT=

AR•AE

RE

=

(2-x)•1

(2-x)2+12

=

4

5

解得x=

2

3

．
故存在點Q，當CQ=

2

3

時，點A到平面EFQ的距離為

4

5

…（14分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及異面直線所成角和點到面的距離的度量，同時考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．