Question

若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y²=2x上一動(dòng)點(diǎn)，求|PA|+|PF|的最小值并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用拋物線的定義，將點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為它到其準(zhǔn)線的距離即可．

解答： 解：根據(jù)題意，作圖如下，

設(shè)點(diǎn)P在其準(zhǔn)線x=-

1

2

上的射影為M，有拋物線的定義得：|PF|=|PM|，
∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
∵|PA|+|PM|≥|AM|=

7

2

（當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線時(shí)取“=”），
∴|PA|+|PF|取得最小值

7

2

時(shí)（M，P，A三點(diǎn)共線時(shí)）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y₀=2，設(shè)其橫坐標(biāo)為x₀，
∵P（x₀，2）為拋物線y²=2x上的點(diǎn)，
∴x₀=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，將點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為它到其準(zhǔn)線的距離是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．