如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．

（1）求證：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；
（3）求點B到平面MAC的距離．

（1）證明過程詳見解析；（2）二面角的余弦值為；（3）.

解析試題分析：本題考查空間兩條直線的位置關系、二面角、點到平面的距離等基礎知識，考查運用傳統(tǒng)幾何法，也可以運用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，根據(jù)線面平行的判定定理得到平面，所以垂直于面內(nèi)的任意線；第二問，法一：先找出二面角的平面角，取的中點，因為，所以，由三垂線定理得，所以得到二面角的平面角為，由已知得，在中用余弦定理求，在、、、中求邊長，最后在中即是二面角的余弦值.法二：用向量法，建立空間直角坐標系，設出點坐標，因為直線與直線所成的角為，利用夾角公式，先得到點坐標，再求出平面的法向量，所以求與的夾角的余弦，并判斷夾角為銳角，所以余弦值為正值；第三問，先找線段的中點到平面的距離，利用線面垂直的判定定理，得到即是，用等面積法求，所以點到平面的距離是點到平面的距離的兩倍.
試題解析：方法1：（1）證明：∵，，∴平面，∴．（2分）
（2）取的中點，連．∵，∴，∴平面．

作，交的延長線于，連接．
由三垂線定理得，∴為二面角的平面角．
∵直線與直線所成的角為，
∴在中，．
在中，．
在中，．
在中，．
在中，∵

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在長方體中，為線段中點．

（1）求直線與直線所成的角的余弦值；
（2）若,求二面角的大小；
（3）在棱上是否存在一點,使得平面？若存在，求的長；若不存在,說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是、邊長為的菱形，又，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．

（1）證明：MB平面PAD；
（2）求點A到平面PMB的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，平面，四邊形為正方形，且，分別是線段的中點.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求三棱錐與四棱錐的體積比.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，面面，底面是直角梯形，側(cè)面是等腰直角三角形．且∥，，，．

（1）判斷與的位置關系；
（2）求三棱錐的體積；
（3）若點是線段上一點，當//平面時，求的長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，邊長為2的正方形ABCD，E,F分別是AB,BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點重合于.

(1)求證：⊥EF;
(2)求二面角的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面⊥底面，側(cè)棱與底面成的角，．底面是邊長為2的正三角形，其重心為點，是線段上一點，且．

（Ⅰ）求證：//側(cè)面；
（Ⅱ）求平面與底面所成銳二面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知.

（1）設是上的一點，證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐A-BCD中，平行于BC的平面MNPQ分別交AB、AC、CD、BD于M、N、P、Q四點，且MN=PQ.

（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）試在直線AC上找一點F，使得.

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