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設平面向量數學公式=（cosx，sinx），數學公式，數學公式，x∈R，
（Ⅰ）若數學公式，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若數學公式，證明數學公式和數學公式不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函數數學公式的最大值，并求出相應的x值．

解：（Ⅰ）若，則 ，cosxsinα+sinxcosα=0，sin（x+α）=0
所以，cos（2x+2α）=1-2sin2（x+α）=1．
（Ⅱ）假設與平行，則 ，即 sinx=0，
而時，sinx＞0，矛盾，故 和不可能平行．
（Ⅲ）若，
則
=cosx=1-2sinx+2，
所以，．
分析：（Ⅰ）利用兩個向量垂直，它們的數量積等于0，以及二倍角的余弦公式求得cos（2x+2α）的值．
（Ⅱ）假設與平行，則 ，即 sinx=0，與已知矛盾．
（Ⅲ）若α=0，則，函數═1-2sinx+2，
利用正弦函數的有界性求出函數的最值．
點評：本題考查兩個向量的數量積公式的應用，兩個向量平行、垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(cosx+2
3
，sinx)，
c
=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，
π
2
)，證明
a
和
b
不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函數f(x)=
a
•(
b
-2
c
)的最大值，并求出相應的x值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知及是實數集，x∈R，平面向量
a
=（1，sin2x-cos2x），平面向量
b
=（cos（2x-
π
3
），1），函數f（x）=
a
•
b
．
（I ）求f（x）的最小正周期；
（II ）設函數F（x）=[f（x）]2+f（x），求F（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

請先閱讀：
設平面向量
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），且
a
與
b
的夾角為θ，
因為
a
•
b
=|
a
||
b
|cosθ，
所以
a
•
b
≤|
a
||
b
|．
即a1b1+a2b2≤
a
2
1
+
a
2
2
×
b
2
1
+
b
2
2
，
當且僅當θ=0時，等號成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），結合空間向量，證明：對于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
)(
b
2
1
+
b
2
2
+
b
2
3
)成立；
（II）試求函數y=
x
+
2x-2
+
8-3x
的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設平面向量
a
=(cosα，sinα)，
b
=(-
1
2
，
3
2
)．
①求證：向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直．
②當兩個向量
3
a
+
b
與
a
-
3
b
的模相等時，且α∈(0，
π
2
)，求角α．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年北京市西城區(qū)（北區(qū)）高二（下）期末數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

請先閱讀：
設平面向量=（a1，a2），=（b1，b2），且與的夾角為θ，
因為•=||||cosθ，
所以•≤||||．
即，
當且僅當θ=0時，等號成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），結合空間向量，證明：對于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有成立；
（II）試求函數的最大值．

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