Question

一個(gè)軸截面是等邊三角形的圓錐（即該圓錐的母線長(zhǎng)與底面直徑相等）有一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球的體積為V₁，圓錐的體積為V₂，則V₁：V₂=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：作出軸截面，利用Rt△AOE∽R(shí)t△ACD，求出球的半徑OE（R）再計(jì)算球的體積和圓錐的體積，可得答案．

解答： 解：如圖所示，作出軸截面，
∵△ABC是正三角形，令A(yù)C=4，
則CD=

1

2

AC=2，
∴AD=

3

2

×4=2

3

；
∵Rt△AOE∽R(shí)t△ACD，
∴OE：AO=CD：AC．
設(shè)OE=R，則AO=2

3

-R，
∴R：（2

3

-R）=1：2，
∴R=

2 3

3

．
∴內(nèi)切球的體積為V₁=

4

3

πR³=

32 3

27

π，
圓錐的體積為V₂=

1

3

π•CD²•AD=

8 3

3

π，
∴V₁：V₂=

32 3

27

π：

8 3

3

π=4：9，
故答案為：4：9

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間幾何體的體積的計(jì)算問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求出球的半徑，是基礎(chǔ)題．