(2012•南京二模)甲、乙兩班各派三名同學參加青奧知識競賽,每人回答一個問題,答對得10分,答錯得0分,假設甲班三名同學答對的概率都是
2
3
,乙班三名同學答對的概率分別是
2
3
,
2
3
,
1
2
,且這六名同學答題正確與否相互之間沒有影響.
(1)用X表示甲班總得分,求隨機變量X的概率分布和數(shù)學期望;
(2)記“兩班得分之和是30分”為事件A,“甲班得分大于乙班得分”為事件B,求事件A,B同時發(fā)生的概率.
分析:(1)確定隨機變量X的可能取值,求出相應的概率,即可求得隨機變量X的概率分布列和數(shù)學期望;
(2)分別求得事件A,B的概率,利用互斥事件的概率公式,可得結(jié)論.
解答:解:(1)隨機變量X的可能取值是0,10,20,30,且
P(X=0)=
C
0
3
(1-
2
3
3=
1
27
,P(X=10)=
C
1
3
2
3
•(1-
2
3
2=
2
9

P(X=20)=
C
2
3
2
3
2(1-
2
3
)=
4
9
,P(X=30)=
C
3
3
2
3
3=
8
27

所以,X的概率分布為
X 0 10 20 30
P
1
27
2
9
4
9
8
27
…3分
隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0×
1
27
+10×
2
9
+20×
4
9
+30×
8
27
=20.…5分
(2)甲班得20分,且乙班得10分的概率是:
C
2
3
2
3
2(1-
2
3
)×[
2
3
×(1-
2
3
)×(1-
1
2
)+(1-
2
3
)×
2
3
×(1-
1
2
)+(1-
2
3
)×(1-
2
3
)×
1
2
]=
10
34
;
甲班得30分,且乙得班0分的概率是:
C
3
3
2
3
3×(1-
2
3
)×(1-
2
3
)×(1-
1
2
)=
4
35

所以事件A,B同時發(fā)生的概率為
10
34
+
4
35
=
34
243
.   …10分
點評:本題考查互斥事件概率公式的運用,考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望,確定變量的取值,求出相應的概率是關鍵.
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12
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其中真命題的序號是
.(把真命題的序號都填上)

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a
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a
b
=
13
6
,求sinθ+cosθ的值;
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a
b
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π
3
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,其中a,b∈R,i為虛數(shù)單位,則a+b=
4
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PB
+
BC
2
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2
3
2
3

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48
48
cm3

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