Question

π為圓周率，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=

lnx

x

的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求e³，3^e，e^π，π^e，3^π，π³這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)思想

分析：第（Ⅰ）問中，先根據(jù)分式求導(dǎo)法則，再解對數(shù)不等式即可；
第（Ⅱ）問中，可先將6個(gè)數(shù)分組，比較各組內(nèi)數(shù)的大小后，再比較組與組之間的數(shù)的大小，而數(shù)的大小比較，可以考慮函數(shù)y=lnx，y=e^x，y=π^x的單調(diào)性．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
由f（x）=

lnx

x

得f′(x)=

1-lnx

x2

．
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜e時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)f′（x）＜0，即x＞e時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．

（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πl(wèi)ne＜πl(wèi)n3，
從而有l(wèi)n3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．
于是，根據(jù)函數(shù)y=lnx，y=e^x，y=π^x在定義域上單調(diào)遞增，
可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，
∴這6個(gè)數(shù)的最大數(shù)在π³與3^π之中，最小數(shù)在3^e與e³之中．
由（Ⅰ）知，f（x）=

lnx

x

在[e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴

lnπ π ＜ ln3 3 ln3 3 ＜ lne e

即

3lnπ＜πl(wèi)n3 eln3＜3lne

得

lnπ3＜ln3π ln3e＜lne3

∴

π3＜3π 3e＜e3

綜上可知，6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)是3^π，最小數(shù)是3^e．

點(diǎn)評：1、求單調(diào)區(qū)間時(shí)，先寫出函數(shù)的定義域，為后面取區(qū)間時(shí)作參考．
2、利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)要點(diǎn)：
（1）尋找同底的指數(shù)式或?qū)��?shù)式；
（2）分清是遞增還是遞減；
（3）把自變量的值放到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上．